配置と重み
化学熱力学や物理学の参考書や教科書に書いてある配置と重みについて説明します。
配置
配置という言葉通り、分子があるエネルギー状態を占拠したときに、そのエネルギー状態ごとに占有数を記したものを”配置”といいます
あるエネルギー状態
があったとし、それぞれに
個の分子が占有するとすると、その配置は単純に
のようにあらわされます。
重み
それぞれの配置の起こる確率は異なります。
なぜなら、それぞれの分子を区別したときにそれぞれの配置の組み合わせの数が変わるからです。
これに関しては高校の数学Aの授業で学習する配置の問題になりますが、結果だけ簡単に書くと次のようになります。
これを重みといい記号としては、WeightからWがつかわれることが多いです。
(配置の重み)
この重みを簡潔に書くために自然対数を用います。
(配置の重みの自然対数表示)
さらに、スターリングの近似式を用いることでさらに式変形できます。
結論として重みの近似式はつぎのようになります。
(配置の重みの自然対数表示の近似式)
補足：スターリングの近似式
スターリングの近似式は統計力学などでよく使われる近似式です。
その特徴は階乗の計算が関わるということで、今回の重みの表現のように階乗が含まれる場合においてよく使われます。
スターリングの近似の一番簡単な表現はつぎのようなものです。
スターリングの近似式(一番荒い表現)
これを両辺自然対数をとって表すと次のようになります。
スターリングの近似式
今回の統計熱力学ではNの数がとても大きくなるので、近似
の精度はそこまで高くなくてよく、この式がよく用いられます。
さらに精度が高い場合には、次のようにも表されます。
スターリングの近似式(さらに精度が高い近似)
まとめ
・「配置」とは、エネルギー状態ごとに占有数を記したものである。
・「重み」とは、ある配置をとりうるパターンの通り数である。
(配置の重み)
・重みに対して自然対数をとったものがよく使われ、スターリングの近似式を使うと最終的につぎのようになります。
