衝突回数と平均自由行程

衝突回数と平均自由行程

衝突回数はつぎのようにあらわされます。

$Z_{AB}=\frac{\pi d_{AB}^2\bar v_{AB}N_AN_B}{V^2}$​

ここで、分子の平均速度はマクスウェルボルツマン分布より

$\bar v_{AB}=\sqrt\frac{8kT}{\pi\mu}$​​

$\mu$は相対質量で次のように表されます。

$\mu=\frac{m_Am_B}{m_A+m_B}$

つまり、衝突回数は異種の分子では、

$Z_{AB}=\frac{\pi d_{AB}^2N_AN_B}{V^2}\sqrt\frac{8kT}{\pi\mu}$

同種の分子では、

$Z_{AA}=\frac{2\pi d^2N^2}{V^2}\sqrt\frac{kT}{\pi m}$​

となります。

つまり、$\bar u=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$であることを考慮すると、

$Z_{AA}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt2\pi d^2N^2}{V^2}\bar u$

これは単位時間当たりの衝突回数ですので、

逆に衝突1回あたりに次の衝突までに分子が進む距離を考えると、1分子当たりの衝突回数を考えて次のようになります。

$\frac{\bar u}{Z_{1A}}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt2\pi d^2N}{V}$​​​

平均自由行程

今求めた$\frac{1}{2}\frac{\sqrt2\pi d^2N}{V}$を平均自由行程と言います。

分子が一度衝突してからつぎの衝突を行うまでにその分子が移動する距離がその定義になります。