根平均二乗速度を求めさせる問題の解き方と覚え方

根平均二乗速度を求めさせる問題の解き方と覚え方

例題

300Kにおける$O_2$​の根平均二乗速度を求めよ。ただし、$O_2$​の1分子当たりの質量を32[g/mol]とし、気体定数を8.3[J/mol・T]とする。

解説

根平均二乗速度は、$\sqrt\frac{3RT}{M}$であるが、これを覚えていなくても求められる。

まず、1分子あたりのエネルギーが$\frac{3}{2}k_BT$​であることは知られている。

つまり、$\frac{3}{2}k_BT=\frac{1}{2}mv^2$

であるから、$\begin{align}v^2&=3\frac{k_BT}{m} \\\sqrt {v^2}&=\sqrt\frac{3k_BT}{m} =\sqrt\frac{3RT}{M}\end{align}$

これで根平均二乗速度が形式上求められたので、この式に当てはめることによって計算ができます。

※注意※

しかしながら、根平均二乗速度はその名の通り分子の速度の2乗の平均であるので厳密に導出するには、それぞれの分子が違う速度を持つという条件でΣをとって計算しないといけません。あくまでも試験のときだけの簡易的な導出であると考えてください。

解答

$\sqrt {v^2}=\sqrt\frac{3RT}{M}$​

であるので、$\sqrt\frac{3×8.3×300}{32×10^{-3}}=483.4[m/s]$​​

根二乗平均速度の計算の確認

以下のフォームから根二乗平均速度の計算ができるのでご自由にお使いください。