二次元での回転する粒子の波動関数

二次元での回転する粒子の波動関数

必要な知識

$E=\frac{p^2}{2m}$​

$J_z=±pr$

$I=mr^2$

シュレディンガー方程式

x,y座標

$-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2})\frac{d^2Ψ}{dΦ^2}=EΨ$

極座標

$-\frac{\hbar^2}{2mr^2}\frac{d^2Ψ}{dΦ^2}=EΨ$​

$I=mr^2$であるので、

$-\frac{\hbar^2}{2I}\frac{d^2Ψ}{dΦ^2}=EΨ$

とも書ける。

境界条件

波動関数は一価関数でなければならないの環状の任意の点でちょうど一周したときに前の一周と同じ振幅を取らないといけない。

つまり

$n=0,1,2,3,4・・・$

量子数

境界条件より

$n=0,1,2,3,4・・・$

であるが、角運動量$J_Z$を考えてみる。

$J_Z$​は、ディラック定数(換算プランク定数)の整数倍になることがわかります。

つまりZ軸周りの角運動量は量子化されていると言えます。

そこで整数$m$を用いて

$J_z=m\hbar$

と書き、このmを量子数と考えるときもあります。

mは一つのnに対して二つあることになります。

量子条件　$m_l=0,±1,±2,±3・・・$​​

量子化されたエネルギー

古典力学からわかる粒子のエネルギーはつぎのようになります。

$E=\frac{p^2}{2m}$

これをドブロイ波長λを用いて書き換えると

$p=\frac{h}{λ}$より

$E=\frac{h^2}{2mλ^2}$

ここで、$λ=\frac{2\pi r}{n}$であるので、

$E=\frac{n^2\hbar^2}{2mr^2}$

$E=\frac{n^2\hbar^2}{2I}$

あるいは、整数の量子数$m_l$を用いて次のようになります。

$E=\frac{m_l^2\hbar^2}{2I}$

波動関数

上記のシュレディンガー方程式

$-\frac{\hbar^2}{2I}\frac{d^2Ψ}{dΦ^2}=EΨ$

に対して量子化されたエネルギーを用いると、

$\frac{d^2Ψ}{dΦ}=-m_l^2Ψ$

これを解くと

$Ψ=e^{im_lΦ}$

規格化定数まで考慮すると、

$Ψ=\frac{e^{im_lΦ}}{\sqrt{2\pi}}$​